\( \cos^3 x \)의 적분

유도 및 평가

다음 적분을 구합니다:

\[ \int \cos^3 x \, dx \]

코사인 인수를 하나 분리하여 적분식을 씁니다:

\[ \int \cos^3 x \, dx = \int \cos^2 x \cos x \, dx \]

삼각함수 항등식 \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \)을 사용하여 피적분 함수를 다시 씁니다:

\[ \int \cos^3 x \, dx = \int (1 - \sin^2 x) \cos x \, dx \]

피적분 함수를 전개하고 적분을 두 부분으로 나눕니다:

\[ \int \cos^3 x \, dx = \int \cos x \, dx - \int \sin^2 x \cos x \, dx \]

두 번째 항에 치환적분을 사용합니다: \( u = \sin x \)로 놓으면 \( \dfrac{du}{dx} = \cos x \) 또는 \( du = \cos x \, dx \)가 됩니다. 이를 대입하면 다음과 같습니다:

\[ \int \cos^3 x \, dx = \int \cos x \, dx - \int u^2 \, du \]

표준 적분 공식을 사용하여 각 적분을 평가합니다:

\[ \int \cos^3 x \, dx = \sin x - \dfrac{1}{3} u^3 + c \]

여기서 \( c \)는 적분 상수입니다.

\( u = \sin x \)를 다시 대입하여 최종 결과를 구합니다: